Klasse 7 › Mathe › Zuordnungen
Was ist eine lineare Funktion?
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Eine lineare Funktion hat die Gleichung y = m · x + b, ihr Graph ist eine Gerade. b ist der y-Achsenabschnitt: Dort schneidet die Gerade die y-Achse, im Punkt (0|b). m ist die Steigung: 1 nach rechts, m nach oben. Bei y = 2x + 1 schneidet die Gerade also bei 1, nicht bei 2.
Das Wichtigste zum Nachlesen
1 Min. Lesen
Steigung und y-Achsenabschnitt
Eine lineare Funktion hat die Gleichung y = m · x + b, ihr Graph ist eine Gerade. b ist der y-Achsenabschnitt: Dort schneidet die Gerade die y-Achse, im Punkt (0|b). m ist die Steigung: Gehst du 1 nach rechts, geht es m nach oben – bei negativem m nach unten.
y = 2x + 1
- Steigung: 1 rechts, 2 hoch
- y-Achsenabschnitt: (0|1)
So zeichnest du y = 2x + 1
- Punkt (0|1) auf der y-Achse markieren.
- Steigungsdreieck: 1 nach rechts, 2 nach oben.
- Neuen Punkt markieren und die Gerade durchziehen.
y = m · x + b
Wertetabelle zu y = 2x + 1
- x = −1: y = −1
- x = 0: y = 1
- x = 1: y = 3
- x = 2: y = 5
Typische Falle
- Falsch: „Die Zahl vor dem x sagt, wo der Graph die y-Achse schneidet.“ Das sagt b, die Zahl ohne x.
- In y = 2x + 1 ist 2 die Steigung und 1 der y-Achsenabschnitt.
- Bei y = −0,5x + 3 geht es pro Schritt nach rechts 0,5 nach unten.
Der Graph von y = 2x + 1
Start im Punkt (0|1) auf der y-Achse, denn b = 1. Dann das Steigungsdreieck: 1 nach rechts, 2 hoch, denn m = 2.
Tipp
Prüf deinen Graphen mit einem Punkt: Setz x = 2 in die Gleichung ein und schau, ob der Punkt wirklich auf deiner Geraden liegt.
Üben
7 Aufgaben
Lies Steigung m und y-Achsenabschnitt b ab.
- y = 2x + 1: m = , b =
- y = −0,5x + 3: m = , b =
- y = 4x − 2: m = , b =
- y = x: m = , b =
- y = 7 − 3x: m = , b =
Berechne den Funktionswert oder prüf den Punkt.
- y = 2x + 1, x = 3: y =
- y = −0,5x + 3, x = 4: y =
- y = −0,5x + 3, x = −2: y =
- Liegt (2|5) auf y = 2x + 1?
- Liegt (4|2) auf y = −0,5x + 3?
Bestimme die Steigung m.
- Steigungsdreieck: 1 nach rechts, 3 nach oben: m =
- Steigungsdreieck: 2 nach rechts, 1 nach oben: m =
- Steigungsdreieck: 1 nach rechts, 2 nach unten: m =
- Gerade durch (0|1) und (2|7): m =
- Gerade durch (0|4) und (4|2): m =
Lies am Graphen ab: Steigung m, y-Achsenabschnitt b und den Schnittpunkt S.
- f: m = , b =
- g: m = , b =
- Schnittpunkt S: x = , y =
Stell die Funktionsgleichung auf.
- Gerade durch (0|3) mit Steigung 2: y =
- Schneidet die y-Achse bei −1 und steigt pro Schritt um 4: y =
- Tarif mit 5 € Grundgebühr und 0,10 € pro Minute, x Minuten: y =
- Kerze, 20 cm lang, brennt pro Stunde 2 cm ab, x Stunden: y =
Berechne den Schnittpunkt: Setz beide Terme gleich.
- y = 2x + 1 und y = −0,5x + 3: x = , y =
- y = x + 1 und y = −x + 5: x = , y =
- y = 3x − 2 und y = x + 4: x = , y =
- y = 2x und y = −x + 6: x = , y =
Stimmt das? Kreuze an.
- Bei y = 3x + 5 ist 5 der y-Achsenabschnitt.
- y = 3x + 5 schneidet die y-Achse bei 3.
- Ist m negativ, fällt die Gerade.
- y = 4x ist eine Gerade durch den Ursprung.
- Bei y = −x + 2 ist die Steigung 2.
Was im Video gesagt wird
Abschrift
Einstieg
y gleich zwei x plus eins schneidet bei zwei? Falsch!
Erklärung
Ein Leihrad kostet einen Euro Grundgebühr und zwei Euro pro Stunde. Null Stunden: ein Euro. Eine Stunde: drei. Zwei Stunden: fünf Euro. Als Punkte eingetragen, liegen sie alle auf einer Geraden. Die Gleichung: y gleich zwei mal x plus eins. Eine lineare Funktion.
Die Eins steht ohne x. Sie ist der Start, bei null Stunden. x gleich null heißt: auf der y-Achse. Dort schneidet sie, bei eins. Die Zwei vor dem x ist die Steigung: eins rechts, zwei hoch. Jede Stunde kommen zwei Euro dazu. So steigt die Gerade gleichmäßig.
Gegenprobe: x gleich null. Zwei mal null ist null, bleibt die Eins. Mach aus der Zwei eine Drei: gleicher Start, nur steiler. Und aus der Eins eine Drei: gleich steil, aber Start bei drei. Allgemein heißt das: y gleich m mal x plus b.
m klebt am x: wie steil. b steht allein: der Start.
Beispiele
Zweites Beispiel: y gleich minus null Komma fünf x plus drei. Erst b, die Drei ohne x: Start bei null, drei. Minus ein halb heißt: zwei nach rechts, eins runter. Gerade durch beide Punkte. Sie fällt, weil m negativ ist.
Probe mit x gleich vier: minus zwei plus drei ist eins. Dazu die Gerade y gleich x: Start im Ursprung, Steigung eins. Bei y gleich x ist b null: Sie geht durch den Ursprung. Die zwei Geraden kreuzen sich bei zwei, zwei: der Schnittpunkt S.
Probe: minus eins plus drei ist zwei. S liegt auf beiden.
Dein Zug
Dein Zug: y gleich drei x minus vier. Wo schneidet sie die y-Achse? Lösung: bei minus vier.
Zum Schluss
Die erste steigt, Start bei eins. Die zweite fällt, Start bei drei. Merk dir: Eine lineare Funktion ist y gleich m x plus b. Zum Üben: Zeichne zwei Geraden mit Steigungsdreieck und lies den Schnittpunkt ab. Nächste Frage: Was sind Scheitelwinkel und Nebenwinkel?
Danach
