Klasse 7 › Mathe › Daten und Zufall
Wie rechnet man mit dem Baumdiagramm?
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Im Baumdiagramm wird entlang eines Pfades multipliziert und über mehrere Pfade addiert. Zweimal Kopf beim Münzwurf ist 1/2 · 1/2 = 1/4, nicht 1/2 + 1/2 = 1. Beim Ziehen ohne Zurücklegen ändern sich die Äste der zweiten Stufe: Bei 2 roten und 2 blauen Socken ist ein passendes Paar 1/6 + 1/6 = 1/3.
Das Wichtigste zum Nachlesen
1 Min. Lesen
Entlang malnehmen, nebeneinander addieren
Ein Baumdiagramm zeigt einen Zufallsversuch in mehreren Stufen, an jedem Ast steht seine Wahrscheinlichkeit. Pfadregel: Entlang eines Pfades wird multipliziert. Summenregel: Gehören mehrere Pfade zum gesuchten Ergebnis, werden ihre Wahrscheinlichkeiten addiert. Beim Ziehen ohne Zurücklegen ändert sich die zweite Stufe, weil eine Kugel fehlt.
Baumdiagramm: 3 rote, 2 blaue Kugeln, ohne Zurücklegen
Am Ast die Wahrscheinlichkeit des Zugs, hinten die des ganzen Pfades. Hervorgehoben: rot, dann rot – 3/5 · 2/4 = 3/10.
3 rote, 2 blaue Kugeln, ohne Zurücklegen
- Erst rot: 3/5
- Danach rot: 2/4
- 3/5 · 2/4 = 3/10
So rechnest du
- Erste Stufe: Äste mit den Anfangswahrscheinlichkeiten.
- Zweite Stufe: Was ist nach dem ersten Zug noch in der Tüte?
- Entlang eines Pfades multiplizieren.
- Passende Pfade addieren.
Entlang eines Pfades: mal. Mehrere Pfade: plus.
Typische Falle
- Falsch: „Entlang eines Pfades zählt man die Wahrscheinlichkeiten zusammen.“ 3/5 + 2/4 wäre mehr als 1 – entlang eines Pfades wird multipliziert.
- Ohne Zurücklegen: Nach einer roten Kugel sind nur noch 4 Kugeln da, 2 davon rot.
- Addiert wird nur über verschiedene Pfade, die zum selben Ergebnis gehören.
Tipp
Prüf deinen Baum: Die Äste an jedem Verzweigungspunkt ergeben zusammen 1, und alle Pfade am Ende zusammen auch.
Üben
5 Aufgaben
Tüte mit 3 roten und 2 blauen Kugeln, zweimal ziehen ohne Zurücklegen: Welche Wahrscheinlichkeit steht am Ast?
- Erster Zug rot:
- Erster Zug blau:
- Nach Rot, zweiter Zug rot:
- Nach Rot, zweiter Zug blau:
- Nach Blau, zweiter Zug blau:
- Nach Blau, zweiter Zug rot:
Dieselbe Tüte, ohne Zurücklegen: Berechne die Wahrscheinlichkeit des Pfades.
- Rot, dann rot:
- Blau, dann blau:
- Rot, dann blau:
- Blau, dann rot:
Dieselbe Tüte, ohne Zurücklegen: Addiere die passenden Pfade.
- Zwei verschiedene Farben:
- Zweimal dieselbe Farbe:
- Alle vier Pfade zusammen:
- Mindestens einmal Rot:
Jetzt mit Zurücklegen: Rechne.
- 3 rote, 2 blaue, mit Zurücklegen: nach Rot zweiter Zug rot
- 3 rote, 2 blaue, mit Zurücklegen: rot, dann rot
- 3 rote, 2 blaue, mit Zurücklegen: blau, dann blau
- Münze zweimal werfen: zweimal Kopf
Stimmt das? Kreuze an.
- Entlang eines Pfades werden die Wahrscheinlichkeiten multipliziert.
- Die Äste an einem Verzweigungspunkt ergeben zusammen 1.
- Ohne Zurücklegen bleiben die Wahrscheinlichkeiten im zweiten Zug gleich.
- Alle Pfadwahrscheinlichkeiten zusammen ergeben 1.
- Gehören zwei Pfade zum Ergebnis, multipliziert man ihre Wahrscheinlichkeiten.
Was im Video gesagt wird
Abschrift
Einstieg
Zweimal Kopf: ein Halb plus ein Halb, also sicher? Falsch!
Erklärung
Eine Münze, zweimal geworfen. Jeder Wurf: Kopf oder Zahl, je ein Halb. Dann der zweite Wurf: an jedem Ast wieder zwei, je ein Halb. Zweimal Kopf ist dieser eine Weg durch den Baum: ein Pfad. Addiert gäbe das eins: Dann käme immer zweimal Kopf. Unsinn!
In der Hälfte der Fälle erst Kopf. Davon wieder nur die Hälfte. Hälfte von der Hälfte: ein Halb mal ein Halb ist ein Viertel. Das ist die Pfadregel: Entlang eines Pfades wird multipliziert. Einmal Kopf, einmal Zahl: Das sind zwei Pfade, Kopf-Zahl und Zahl-Kopf.
Verschiedene Pfade werden addiert: ein Viertel plus ein Viertel, ein Halb. Probe: Alle vier Pfade zusammen ergeben eins. Irgendwas kommt ja immer. Plus gibt es doch: Kopf oder Zahl an einer Gabel ergibt eins.
Beispiele
Zweites Beispiel: zwei rote, zwei blaue Socken. Du ziehst im Dunkeln zwei. Wie wahrscheinlich ist ein passendes Paar? Viele tippen auf ein Halb. Erster Zug: zwei von vier sind rot, zwei blau. Je zwei Viertel. Ohne Zurücklegen fehlt dann eine Socke: Nur noch drei liegen drin.
Nach Rot ist nur noch eine rote übrig: ein Drittel. Pfadregel: zwei Viertel mal ein Drittel gibt ein Sechstel. Blau, blau genauso: ein Sechstel. Die gemischten Pfade je ein Drittel. Ein Paar sind zwei Pfade: ein Sechstel plus ein Sechstel, ein Drittel.
Probe: Alle Pfade ergeben eins. Ein Paar ist seltener als gedacht. Legst du zurück, bleibt es zwei Viertel. Dann wäre es ein Halb.
Dein Zug
Dein Zug: Eine Münze, dreimal geworfen. Wie wahrscheinlich ist dreimal Kopf? Lösung: ein Achtel.
Zum Schluss
Plus entlang des Pfades gäbe eins, also sicher. Mal gibt ein Viertel. Merk dir: Entlang eines Pfades multiplizieren, verschiedene Pfade addieren. Zum Üben: drei rote, zwei blaue Kugeln. Zieh zweimal ohne Zurücklegen: zweimal Rot? Nächste Frage: Wie rechnet man plus und minus mit negativen Zahlen?
Danach
