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Klasse 7 › Mathe › Gleichungen

Wie löst man eine Ungleichung?

Mathe Klasse 7 Gleichungen

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Kurz gesagt

Eine Ungleichung löst du fast wie eine Gleichung: Plus, Minus und Malnehmen oder Teilen mit einer positiven Zahl lassen das Zeichen stehen. Nimmst du mit einer negativen Zahl mal oder teilst durch sie, dreht sich das Zeichen um: Aus −2x < 6 wird x > −3. Prüf mit einer Zahl von innen und einer von außen.

Das Wichtigste zum Nachlesen

1 Min. Lesen

Fast wie eine Gleichung

Eine Ungleichung wie −2x + 3 < 9 hat meist unendlich viele Lösungen. Du löst sie fast wie eine Gleichung: Plus, Minus und Malnehmen oder Teilen mit einer positiven Zahl ändern das Zeichen nicht. Nimmst du mit einer negativen Zahl mal oder teilst durch sie, dreht sich das Zeichen um: Aus < wird >.

Die Lösungsmenge x > −3

Offener Kreis: −3 gehört nicht dazu. Der Pfeil zeigt nach rechts zu allen größeren Zahlen. Probe mit 0 (innen) und −5 (außen).

So löst du sie

  1. Umformen wie bei einer Gleichung: −2x + 3 < 9 | − 3.
  2. Durch −2 teilen – negative Zahl, Zeichen umdrehen.
  3. Lösungsmenge: x > −3.
  4. Probe mit einer Zahl von innen und einer von außen.

Mal oder geteilt durch eine negative Zahl: Zeichen umdrehen

Beispiel

  • −2x + 3 < 9 | − 3
  • −2x < 6 | : (−2)
  • x > −3

Typische Falle

  • Falsch: „Das Zeichen bleibt immer stehen.“ −2x < 6 geteilt durch −2 ergibt x > −3, nicht x < −3.
  • Probe mit x = 0 (innen): −2 · 0 + 3 = 3, und 3 < 9 stimmt.
  • Probe mit x = −5 (außen): −2 · (−5) + 3 = 13, und 13 < 9 stimmt nicht.

Warum sich das Zeichen dreht

  • vorher
  • mal minus eins
  • Zeichen gedreht

Tipp

Zeichne die Lösungsmenge an einen Zahlenstrahl: Bei x > −3 kommt ein offener Kreis auf die −3, weil sie nicht dazugehört, und ein Pfeil nach rechts.

Üben

6 Aufgaben

  1. Löse die Ungleichung. Achte auf das Zeichen.

    1. −2x + 3 < 9 →
    2. 3x − 4 > 11 →
    3. −x + 2 > 7 →
    4. 5 − 2x < 1 →
    5. 4x + 1 < 2x + 9 →

  2. Lies die Lösungsmenge am Zahlenstrahl ab.

    1. Der Kreis sitzt bei .
    2. Gehört die 2 dazu?
    3. Lösungsmenge:
    4. Passt 5 − 2x > 1 zum Bild?

  3. Löse. Hier bleibt das Zeichen stehen.

    1. x + 4 < 10 →
    2. 2x > 14 →
    3. x − 3 > −1 →
    4. 3x + 2 < 17 →

  4. Setz die Zahl ein. Stimmt die Ungleichung? Schreib ja oder nein.

    1. x = 0 bei −2x + 3 < 9:
    2. x = −5 bei −2x + 3 < 9:
    3. x = 4 bei 3x − 4 > 11:
    4. x = −3 bei −2x + 3 < 9:

  5. Stell eine Ungleichung auf und beantworte die Frage mit einer ganzen Zahl.

    1. Ein Heft kostet 2 €. Lea gibt weniger als 15 € aus. Höchstens Hefte
    2. Ein Aufzug trägt weniger als 600 kg. Ein Mann (90 kg) lädt Kisten zu je 40 kg ein. Höchstens Kisten
    3. Ein Anruf kostet 5 € Grundgebühr und 0,50 € pro Minute, zusammen weniger als 12 €. Höchstens volle Minuten
    4. Mia hat 20 € und spart jede Woche 5 €. Sie will mehr als 60 € haben. Mindestens Wochen

  6. Stimmt die Umformung? Kreuze an.

    1. Aus x + 3 < 5 folgt x < 2.
    2. Aus −x < 4 folgt x > −4.
    3. Aus 2x > 6 folgt x < 3.
    4. Aus −3x > 9 folgt x > −3.
    5. Addiert man eine negative Zahl, dreht sich das Zeichen um.

Auf dem Blatt gibt es noch 2 Aufgaben zum Ankreuzen, Zählen oder Schreiben. Lösungen im Übungsblatt zum Ausdrucken.

Übungsblatt (PDF)In der App üben

Was im Video gesagt wird

Abschrift

Einstieg

Minus zwei x kleiner sechs, also x kleiner minus drei? Falsch!

Erklärung

Eine Ungleichung hat kleiner oder größer statt gleich. Lösungen gibt es viele. Minus zwei auf beiden Seiten, wie bei Gleichungen: x kleiner drei. Am Zahlenstrahl: alles links von drei. Die Drei selbst gehört nicht dazu. Probe mit eins: Eins plus zwei ist drei, kleiner als fünf. Passt.

Test mit Zahlen: zwei kleiner fünf. Jetzt beides mal minus eins. Minus zwei und minus fünf: Jetzt liegt die minus Zwei weiter rechts. Minus zwei ist größer als minus fünf: Das Zeichen dreht sich. Mal minus eins spiegelt an der Null. Die Reihenfolge kehrt sich um.

Plus und Minus ändern nichts. Mal oder geteilt durch Negatives: umdrehen. Zurück zu minus zwei x kleiner sechs: durch minus zwei teilen. Das Zeichen dreht sich: x größer minus drei. Probe mit null: Minus zwei mal null ist null, kleiner sechs.

Beispiele

Zweites Beispiel: vier minus drei x größer zehn. Erst minus vier. Das Zeichen bleibt: minus drei x größer sechs. Jetzt durch minus drei teilen. Negative Zahl, also Zeichen umdrehen. Ergebnis: x kleiner minus zwei.

Am Strahl: offener Kreis bei minus zwei, Pfeil nach links. Probe innen, minus drei: vier plus neun ist dreizehn, größer zehn. Probe außen, null: Vier ist nicht größer zehn. Richtig so. Die Grenze minus zwei: zehn ist nicht größer zehn. Offener Kreis.

Ohne Drehen wäre die Null drin. Die Probe hat gezeigt: falsch.

Dein Zug

Dein Zug: minus x kleiner vier. Wie heißt die Lösungsmenge? Lösung: x größer minus vier.

Zum Schluss

Gleichung: meist eine Lösung. Ungleichung: viele, und Vorsicht mit Minus. Merk dir: Wie Gleichungen, aber mal oder durch Negatives dreht das Zeichen. Zum Üben: Löse minus zwei x plus drei kleiner neun. Prüf mit drei Zahlen. Nächste Frage: Wie stellt man eine Formel um?

Danach

Mathe · Klasse 7 Wie stellt man eine Formel um?

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